동글(Dongul) - 멀티박스: 확률이동 (중요)

처음으로 동글을 소개할 때를 기억하나요? 몇 가지 특징 중에 확률적으로 이동하는 것을 표기할 수 있다고 했었다. 그 확률적 이동을 표기하는데 멀티박스 표기법이 사용된다.

동글에서 말하는 확률이동이란, 멀티박스로 표기된 유닛블록이 여러 개의 이동이 발생할 가능성을 표시한다고 가정하고, 어떤 특정한 시점에 여러 개의 이동 중에 단 한 개의 이동이라는 사건이 확률적으로 발생한다고 보는 해석의 관점이다. 말하자면 실제로 이동이라는 사건이 발생하지 않았다면 아무도 사전에 제시된 여러 개의 이동 중에 특정한 단 한 개의 이동을 표기한 유닛블록이라고 단정해서 말할 수 없다는 얘기이다. 일종의 확률적으로 발생 가능성이 있는 몇 개의 이동이라는 사건을 멀티박스 표기법으로 유닛블록 한 글자에 표기한 것이다.

마치 주사위를 공중으로 던지기 전에는 6가지 숫자가 선택될 가능성이 있는데 지면에 떨어지는 특정한 시점에 주사위는 단 한 개의 숫자가 선택되는 것과 같은 이치다. 주사위와 동글의 멀티박스의 차이점은 동글은 이동의 개수와 각각의 확률을 미리 조정해놓을 수 있다는 점이다. 공통점은 특정한 시점(주사위는 지면에 떨어지는 시점, 동글은 이동이라는 사건이 발생한 시점)에는 여러 가지 가능성 중에 어떤 특정한 단 한 개가 선택된다는 점이다. 여러 개가 아니라는 점이 중요하다.


무슨 말인가 하면, 예를 들어, RIDE 라는 단어가 있는데, 일반적으로 ‘라이드[raid]’라고 읽지만 아주 특이하게 또는 일부러 ‘리데[ride]’라고 읽는 사람이 있다고 치자. 아마존 원주민 같은 비문명인이 뉴욕에 여행 왔다가 알파벳을 맛보기로 배우고 문뜩 ‘리데’라고 읽을 수도 있을 것이다.

무슨 말인가 하면, 예를 들어, 어떤 아마존 원주민 100명이 특별한 기회를 얻어 뉴욕에 몇 주 동안 여행을 왔고 간단한 영어회화와 알파벳을 배웠는데 99명이 RIDE 을 [라이드]라고 읽었는데 단 1명이 [리데]라고 읽었다고 가정하자. 이때 RIDE 라는 글자는 ‘2개의 발음 사건’을 포함하고 있는 글자라고 볼 수 있다. 만약 100명의 원주민 중에 무작위로 어떤 원주민을 선택하여 RIDE 를 발음하게 했다고 생각해보자. 이때 어떤 원주민이 어떻게 발음할지는 아무도 정확히 알 수 없다. 다만, 100분의 99 확률로 [라이드] 라고 발음할 것이고, 100분의 1 확률로 [리데] 라고 발음할 거라는 확률적 정보를 알고 있을 뿐이다. 확장해서 생각해보면, 전 세계 인구 중에 어떤 특정한 시점에서 10억명이 [라이드]라고 발음했고, 100명이 [리데]라고 발음했던 사건이 발생했을 때 RIDE 은 2개의 발음 사건을 포함한 글자라고 볼 수 있다는 뜻이다. 

동글의 확률적 이동은 이런 내용이다. 몇 개의 이동들을 멀티박스 표기법을 사용하여 유닛블록에 담으면 각각의 이동은 몇 분의 몇의 확률로 이동이라는 사건이 발생할 거라는 확률적 내용을 갖게 된다. 이 유닛블록이 실제로 어떤 이동을 표기했는지는 특정한 시점에 어떤 특정한 이동이라는 사건이 발생했을 때만 정확히 알 수 있다. 그 전까지는 몇 개의 이동들이 모두 실제 이동의 예비 후보인 셈이고, 그 예비 후보가 모두 유닛블록에 (확률적 수치를 포함하여) 표기된다는 얘기다. 혹시 현대과학의 양자역학에서 말하는 ‘불확정성 원리’의 내용을 알고있다면 이해에 도움이 될 수도 있을 것이다.

반복해서 말하자면, 멀티박스로 표기된 유닛블록의 내용이란 이런 확률로 이런 이동이 발생할 수도 있고, 저런 확률로 저런 이동이 발생할 수도 있고, 요런 확률로 요런 이동이 발생할 수도 있는...... 그러나 어떤 특정한 시점에 이동이라는 사건이 실제로 발생하는 순간 이런 저런 요런...... 이동들 중에 단 한 개의 이동이라는 사건이 확률적으로 발생한다. 얼핏 멀티박스로 표기된 유닛블록을 보면 여러 개의 이동들이 동시다발적으로 뭉쳐진 것으로 보일 수도 있지만 모두 확률적인 가능성일 뿐이고, 실제의 이동은 특정한 시점에 이동이라는 사건이 발생하는 순간에 그들 중 단 한 개 만을 가리킨다.


세부내용

재확인하자면, 한 개의 유닛블록에서 여러 개의 초박스를 ‘다초박스(Multi First Box)’라고 하고 여러 개의 종박스를 ‘다종박스(Multi Last Box)’라고 한다. 다초박스에 들어가는 여러 개의 위치소는 이동의 출발점들을 의미하고 다종박스에 들어가는 여러 개의 위치소는 이동의 도착점들을 의미한다. 그리고 - (dash) 는 ‘없음(empty)’을 의미한다. 또한 문자들은 다초박스 또는 다종박스 내에서 순서를 따진다. 그 순서는 이전 포스트에서 소개한 대로다.

만약, 다초박스에서 문자의 총 자릿수(위치소와 – 문자 포함)와 다종박스에서 문자의 총 자릿수(위치소와 - 문자)가 동일하다면, 다초박스의 각각은 다종박스의 각각에게 일대일 대응하여 자릿수 만큼의 이동을 만들어낸다. 이때 다초박스의 문자와 다종박스의 문자는 각각 순서대로 일대일 대응하여 이동을 만든다.
 
예를 들어, 다초박스에 7개의 문자가 들어있고, 다종박스에 7개의 문자가 들어있다면 다초박스의 첫 번째 문자는 다종박스의 첫 번째 문자와 대응하여 이동을 만들고, 다초박스의 두 번째 문자는 다종박스의 두 번째 문자와 대응하여 이동을 만들고,...... 다초박스의 일곱 번째 문자는 다종박스의 일곱 번째 문자와 대응하여 이동을 만든다는 뜻이다.

이런 방식으로 여러 이동들이 만들어지는 것을 ‘덧셈적 이동’이라고 부른다.


만약, 다초박스의 문자의 총 자릿수(위치소와 – 문자 포함)와 다종박스에서 문자의 총 자릿수(위치소와 – 문자)가 서로 다르다면, 다초박스의 각각은 다종박스의 전체에게 대응하여 이동을 만들어낸다. 이렇게 만들어지는 총 이동의 개수는 ‘다초박스 자릿수 x 다종박스 자릿수’이다.

예를 들어, 다초박스에 2개의 문자가 들어있고, 다종박스에 3개의 문자가 들어있다면 다초박스의 첫 번째 문자는 다종박스의 첫 번째 문자, 두 번째 문자, 세 번째 문자 각각에 대응하여 총 세 개의 이동을 만들고, 다초박스의 두 번째 문자는 다종박스의 첫 번째 문자, 두 번째 문자, 세 번째 문자 각각에 대응하여 총 세 개의 이동을 만들어서 총 합 6개의 이동을 만든다는 뜻이다.

이런 방식으로 여러 이동들이 만들어지는 것을 ‘곱셈적 이동’이라고 부른다.


이쯤에서 이런 의문이 들 것이다. 다초박스와 다종박스의 자릿수가 동일할 때는 자동적으로 ‘덧셈적 이동’을 하는데 혹시 ‘곱셈적 이동’을 강제적으로 할 수는 없을까? 있다. 눈치 빠른 독자는 곧바로 예상했듯이 중력소를 초박스에 쓰는 의자(Chair) 접두사를 붙여줘서 강제적으로 곱셈적 이동을 하도록 표기할 수 있다. (그림설명 참고)

같은 맥락으로 다초박스와 다종박스의 자릿수가 다를 때는 자동적으로 ‘곱셈적 이동’을 하는데 강제적으로 ‘덧셈적 이동’을 하려면 중력소를 초박스에 쓰는 의자(Chair) 접두사를 붙여줘서 강제적으로 덧셈적 이동을 하도록 표기할 수 있다. (그림설명 참고)

이때 다초박스의 자릿수와 다종박스의 자릿수 중에 작은 숫자의 자릿수만큼 일대일 대응하고 나머지는 출발점이 없든가 도착점이 없으므로 이동이라는 사건이 성립하지 않으므로 ‘없음(empty)’와 동일하게 취급한다.



확률적 해석

이제 어떻게 확률적으로 해석하는지 알아볼 차례이다. 가령, 다초박스에 3개의 문자가 있고 다종박스에 3개의 문자가 있는 유닛블록이 있다고 하자. 위에서 설명했듯이 덧셈적 이동을 하므로 총 3개의 이동이 만들어진다. 이때 확률의 분모는 3이 되고 각각의 이동은 3분의 1의 확률을 갖게 된다. 즉, 총 3개 만들어진 이동의 개별적인 확률은 3분의 1이 된다. 예를 들어, 이 글자를 컴퓨터 프로그램에게 읽도록 해서 3x3x3 전체공간에 이동의 사건을 표시하라고 명령했을 때 출력하는 것은 3개의 이동이 각각 3분의 1의 확률을 갖고 무작위로 선택되어 단 한 개의 이동이 표시된다.

다초박스에 5개의 문자가 있고 다종박스에 6개의 문자가 있는 유닛블록이 있다면 곱셈적 이동을 하고 총 30개의 이동이 만들어지므로 확률의 분모는 30이 되고 각각의 이동은 30분의 1의 확률을 갖게 된다. 이동이라는 사건이 실제로 발생하는 순간 30개의 이동이 각각 30분의 1의 확률을 갖고 무작위로 선택되어 단 한 개의 이동이 표시된다.


만약, 확률을 별도로 지정하고 싶다면 어떻게 할까? 이것은 글만으로 설명하기 쉽지 않다. 그 외 내용을 포함하여 그림설명에서 계속될 것이다.


2016년 10월 31일 김곧글(Kim Godgul)